Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x   s e n ( π / x )

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos apenas que calcular o limite.

Precisamos calcular o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital.

É importante lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / .

Eu sei que agora que você sabe a regra de L’Hospital você vai querer usar ela toda hora, mas tome cuidado, ela pode ser traiçoeira: se der, evite usá-la!!!

Passo 2

Vamos fazer primeiro uma mudança de variável: t = π x . Assim, quando x → ∞ , t → 0 . Além disso, x = t π , de modo que o limite fica:

lim x → ∞ ⁡ x   s e n π x

= lim t → 0 ⁡ π   s e n   t t

= π lim t → 0 ⁡ s e n   t t

Passo 3

Aqui temos:

lim t → 0 ⁡ s e n   t t = 0 0

Aplicando então a regra:

π lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t = π

lim x → ∞ ⁡ x   s e n ( π / x ) = π ⋅ 1 = π

Resposta

π .

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Calcular o limite, caso ele exista: lim x → 0 ⁡ t g x - x x - s e n ( x )
Calcule o limite, se ele existir. lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t ln ⁡ ( 2 e t - 1 )
Calcule o limite, se ele existir. lim x → π 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x π - 2 x 2
Nos exercícios de 6 a 30, calcule o limite, se ele existir.16. lim t → 2 ⁡ t n - 2 n t - 2
Calcule o limite, se ele existir. lim x → 0 ⁡ e 2 x 2 - 1 sin 2 ⁡ x