Enunciado

Ilustre a regra de L’Hospital fazendo o gráfico de f x / g ( x ) e f ' x / g ' ( x ) próximo de x = 0 , para ver que essas razões têm o mesmo limite quando x → 0 . Calcule também o valor exato do limite.

f x = 2 x   s e n   x e g x = sec ⁡ x - 1

Passo 1

Essa é uma questão muito interessante para vermos na prática que a regra de L’Hospital funciona. Vamos plotar tanto f x / g ( x ) como f ' x / g ' ( x ) e mostrar que para x próximo de 0 ambas tendem ao mesmo valor.

Passo 2

Vamos plotar primeiro a razão

f ( x ) g ( x ) = 2 x   s e n   x sec ⁡ x - 1

Note que quando x → 0 , a razão é uma indeterminação do tipo 0/0. O gráfico da razão é:

Como o limite é indeterminado do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Derivando tanto o numerador como o denominador, temos

f ' ( x ) g ' ( x ) = 2   s e n   x + 2 x cos ⁡ x sec ⁡ x   t g   x

O gráfico dessa razão é

Note que tanto o gráfico dessa razão como o da razão anterior parecem “cortar” o eixo y no mesmo ponto. Isso ilustra que para esse caso, vale

lim x → 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )

Passo 3

Calculando o limite explicitamente:

lim x → 0 ⁡ 2 x   s e n   x sec ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ 2   s e n   x + 2 x cos ⁡ x sec ⁡ x t g   x

O limite segue indeterminado do tipo 0/0. Aplicando a regra novamente:

lim x → 0 ⁡ 2   s e n   x + 2 x cos ⁡ x sec ⁡ x t g   x = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 2 x   s e n   x sec ⁡ x   t g 2 x + sec 3 ⁡ x = 2 + 2 - 0 0 + 1 = 4

Resposta

4 .

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Mostre queunderset(k - oo)(l i m) (1 + (r)/(k)) ^k = e ^r
Este exercício explora a diferença entre o limite l i m x → ∞ 1 +1 x 2 x e o limite l i m x → ∞ 1 +1 x x = e Use a regra de L’ Hopital para mostrar que l i m x → ∞ 1 +1 x x = e
b. Esboce f ( x ) = l i m x → ∞ 1 +1 x 2 x e l i m x → ∞ 1 +1 x x em um único gráfico para x ≥ 0 . Como o comportamento de f se compara com o de g? Estime o valor de l i m x → ∞ f ( x ) .c. Confirme s
Calcule o valor de l i m x → 12 x 2 - ( 3 x + 1 ) x + 2 x - 1 por representação gráfica. Depois confirme o cálculo com a regra de L’ Hopital.
Sejam f e g deriváveis até 2ª ordem em ]p,b[, com g ' ' ( x ) ≠ 0 em ]p,b[. Suponha que l i m x → p +f x = l i m x → p + f ' x = 0 e l i m x → p + g x = l i m x → p + g ' x = 0 Ou l i m x → p + f x =