Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x 1 / x

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😊

Nesse problema devemos calcular o limite da forma que julgarmos mais conveniente, inclusive usando a regra de L’Hospital se for possível. Lembrando que só podemos usar a regra se tivermos uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞ / ∞ .

O limite que temos que calcular é dado por

lim x → ∞ ⁡ x 1 / x

Neste caso, temos uma indeterminação do tipo ∞ 0 . Assim, precisamos modificar um pouco o limite para tentar usar a regra de L’Hospital!!! Vamos usar que y = e ln ⁡ y :

lim x → ∞ ⁡ x 1 / x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ x 1 / x = e lim x → ∞   ⁡ 1 x ln ⁡ x

Desta forma, o limite que devemos calcular é

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Este limite é indeterminado do tipo ∞ / ∞ : podemos aplicar a regra de L’Hospital para calculá-lo.

Bora começar! 😉

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Desta forma,

lim x → ∞ ⁡ x 1 / x = e 0

lim x → ∞ ⁡ x 1 / x = 1

E então! O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 1 / x = 1

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Calcule o limite, se existir. lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + x
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Calcule o limite, se existir. lim x → + ∞ ⁡ x 6 + 3 x 5 + 4 1 6 - x
Calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ 1 ln ⁡ x - 1 x - 1