Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x 3   e - x 2

Passo 1

Devemos calcular o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. Vale lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / . Se der para resolver o limite sem usar a regra, devemos fazer assim!!!

Passo 2

Quando x → ∞ , e - x 2 → 0 e x 3 → ∞ , então vamso reescrever o limte como

lim x → ∞ ⁡ x 3   e - x 2 = lim x → ∞ ⁡ x 3 e x 2

Agora temos uma indeterminação do tipo / .

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital para o limite indeterminado, temos que

lim x → ∞ ⁡ x 3 e x 2 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 2 x   e x 2 = lim x → ∞ ⁡ 6 x 2   e x 2 + 4 x 2   e x 2

O limite segue sendo indeterminado do tipo / .

Passo 4

Aplicando a regra novamente:

lim x → ∞ ⁡ 6 x 4 x 2 + 2 e x 2 = lim x → ∞ ⁡ 6 x 8 x . e x 2 + 8 x 3 + 4 x e x 2

= lim x → ∞ ⁡ 6 ( 12 + 48 x 2 + 16 x 4 ) e x 2 = 6 ∞ = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 3   e - x 2 = 0

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