Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x )

Passo 1

Devemos calcular o limite da forma que julgarmos mais conveniente, inclusive usando a regra de L’Hospital se for possível. Lembrando que só podemos usar a regra se tivermos uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞ / ∞ .

Passo 2

Antes de você pensar em usar a regra de L’Hospital, você deve pensar em deixar o limite numa forma que seja possível usá-la!!! Vamos usar que y = e ln ⁡ y para simplificar o limite:

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x ) = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x ) = e lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / 1 + ln ⁡ x

Desta forma, o limite que precisamos calcular é

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / 1 + ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ : podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Para esse caso, antes de aplicar a regra, vamos fazer uma mudança de variável: t = ln ⁡ x . Quando x → ∞ , t → ∞ , assim:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x = lim t → ∞ ⁡ t ⋅ ln ⁡ 2 1 + t

Seguimos com uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , então ainda podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!

Passo 4

Derivando tanto o numerador como o denominador:

lim t → ∞ ⁡ t ⋅ ln ⁡ 2 1 + t = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 1 = ln ⁡ 2

Assim,

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) / ( 1 + ln ⁡ x ) = e ln ⁡ 2 = 2

Resposta

2 .

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Calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 4 x 4
Se f x = x + 1 ( ln ⁡ k ) / x ,s ex ≠ 0 5 ,s ex = 0 , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .
Se f x = 1 - e 4 x x ,s ex0 k ,s e0 ≤ x , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .
Se lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x = 9 , ache n .
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. um dos seguintes limites: ∫ 0 + ∞ e - x d x