Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 62
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Devemos calcular o limite da forma que julgarmos mais conveniente, inclusive usando a regra de L’Hospital se for possível. Lembrando que só podemos usar a regra se tivermos uma indeterminação do tipo 0/0 ou .
Passo 2
Antes de você pensar em usar a regra de L’Hospital, você deve pensar em deixar o limite numa forma que seja possível usá-la!!! Vamos usar que para simplificar o limite:
Desta forma, o limite que precisamos calcular é
Agora temos uma indeterminação do tipo : podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Para esse caso, antes de aplicar a regra, vamos fazer uma mudança de variável:. Quando , , assim:
Seguimos com uma indeterminação do tipo , então ainda podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 4
Derivando tanto o numerador como o denominador:
Assim,
Resposta
.