Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 58
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:
O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Vamos começar tentando resolver direto, apenas substituindo o :
Para usar a Regra de L'Hôspital precisamos de uma indeterminação do tipo ou , não é o nosso caso.
Passo 2
Podemos tentar manipular a nossa função pra chegar em uma indeterminação adequada! Repara que a nossa função tem o formato:
Então podemos usar o fato que . Assim:
Substituindo:
Como é uma constante, podemos também fazer:
Assim, o que devemos realmente calular é
Note que isto é uma indeterminação do tipo / e podemos usar a regra de L’Hospital!!!
Passo 3
Pela regra de L'Hôspital temos que:
Derivando, temos:
Substituindo:
Temos que:
Desta forma:
Calculando os limites separadamente:
Temos que :
Agora precisamos voltar para a expressão original:
Assim:
Ufaaa!