Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 + ⁡ t g   2 x x

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:

lim x → 0 + ⁡ t g   2 x x

O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Vamos começar tentando resolver direto, apenas substituindo o x :

lim x → 0 + ⁡ t g   2 x x = 0 0

Para usar a Regra de L'Hôspital precisamos de uma indeterminação do tipo   0 0 ou ∞ ∞ , não é o nosso caso.

Passo 2

Podemos tentar manipular a nossa função pra chegar em uma indeterminação adequada! Repara que a nossa função tem o formato:

y = f x g ( x )

Então podemos usar o fato que y = e ln ⁡ y . Assim:

y = f x g ( x ) = e ln ⁡ f x g ( x ) = e ln ⁡ t g   2 x x

Substituindo:

lim x → 0 + ⁡ t g   2 x x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ t g   2 x x

Como e é uma constante, podemos também fazer:

lim x → 0 + ⁡ e x   ln ⁡ ( t g   2 x ) = e lim x → 0 + ⁡   x ln ⁡ ( t g   2 x )

Assim, o que devemos realmente calular é

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( t g   2 x ) = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( t g   2 x ) 1 / x   = ∞ ∞

Note que isto é uma indeterminação do tipo / e podemos usar a regra de L’Hospital!!!

Passo 3

Pela regra de L'Hôspital temos que:

lim x → a ⁡ g x h x = lim x → a ⁡ g ' x h ' x  

Derivando, temos:

g ' x = d ln ⁡ ( t g   2 x ) d x = 2 sec 2 ⁡ 2 x t g   2 x    

h ' x = d 1 x d x = - 1 x 2

Substituindo:

lim x → 0 + ⁡ 2 sec 2 ⁡ 2 x t g   2 x   - 1 x 2 = - 2 lim x → 0 + ⁡ x 2 sec 2 ⁡ 2 x tan ⁡ 2 x

Temos que:

sec 2 ⁡ 2 x t g   2 x = 1 cos 2 ⁡ 2 x × cos ⁡ 2 x s e n   2 x = 1 s e n   2 x cos ⁡ 2 x

Desta forma:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( t g   2 x ) 1 / x = - 2 lim x → 0 + ⁡ x 2 s e n   2 x cos ⁡ 2 x

= - lim x → 0 + ⁡ x cos ⁡ 2 x × lim x → 0 + ⁡ 2 x s e n   2 x

Calculando os limites separadamente:

lim x → 0 + ⁡ x cos ⁡ 2 x = 0

lim x → 0 + ⁡ 2 x s e n   2 x = lim t → 0 + ⁡ s e n   t t - 1 = 1 - 1 = 1

Temos que :

- lim x → 0 + ⁡ x cos ⁡ 2 x × lim x → 0 + ⁡ 2 x s e n   2 x = 0

Agora precisamos voltar para a expressão original:

e lim x → 0 + ⁡   x ln ⁡ ( t g   2 x ) = e 0 = 1

Assim:

lim x → 0 + ⁡ t g   2 x x = 1

Ufaaa!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ t g   2 x x = 1

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