Se f x = 1 - e 4 x x ,   s e   x < 0 k                                     ,   s e   0 ≤ x   , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .

Passo 1

Para fazermos que f seja contínua em x = 0 temos que encontrar k que torne lim x → 0 - ⁡ 1 - e 4 x x =   lim x → 0 + ⁡ k uma verdade. Sendo assim vamos resolver lim x → 0 - ⁡ 1 - e 4 x x primeiro e depois igualar o resultado dos dois limites.

Passo 2

Como lim x → 0 - ⁡ 1 - e 4 x x se trata de uma indeterminação 0 0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ 1 - e 4 x x = e lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ 1 - e 4 x

Passo 3

Agora temos lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ 1 - e 4 x que se trata de uma indeterminação 0 ∙ ∞ aplicaremos algumas manipulações como inverter o   x duas vezes.

lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ 1 - e 4 x = lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ 1 - e 4 x 1 x     =     lim x → 0 - ⁡ - 4 e 4 x 1 - e 4 x - 1 x 2    

Passo 4

Como chegamos na indeterminação ∞ ∞ aplicaremos L’Hôpital.

lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ 1 - e 4 x 1 x     =     lim x → 0 - ⁡ - 4 e 4 x 1 - e 4 x - 1 x 2   =     lim x → 0 - ⁡ 4 x 2 e 4 x 1 - e 4 x  

Passo 5

Como agora temos uma indeterminação 0 0 aplicaremos L’Hôpital novamente.

lim x → 0 - ⁡ 4 x 2 e 4 x 1 - e 4 x   =   lim x → 0 - ⁡ e 4 x   lim x → 0 - ⁡ 4 x 2 1 - e 4 x   = 1 lim x → 0 - ⁡ 8 x - e 4 x   = 0

lim x → 0 - ⁡ 1 - e 4 x x = e lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ 1 - e 4 x x = e lim x → 0 - ⁡ 8 x - e 4 x   = e 0 = 1

Passo 6

Tendo encontrado lim x → 0 - ⁡ 1 - e 4 x x vamos igualar os dois limites e descobrir k

lim x → 0 - ⁡ 1 - e 4 x x =   lim x → 0 + ⁡ k

1 = k

Resposta

k = 1

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