Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ 1 ln ⁡ x - 1 x - 1

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = lim x → 1 ⁡ 1 ln ⁡ x - 1 x - 1

Isto é,

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x ln ⁡ x ⋅ x - 1

Opa, chegamos numa indeterminação o tipo 0 0 . Então, vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x ln ⁡ x ⋅ x - 1

Aplicando regra de L’Hospital:

L = lim x → 1 ⁡   1 - 0 - 1 x 1 x × x - 1 + ln ⁡ x × 1

Arrumando essa confusão:

L = lim x → 1 ⁡   1 - 1 x x - 1 x + ln ⁡ x

Isto é,

L = lim x → 1 ⁡   x - 1 x - 1 + x ln ⁡ x

Novamente caímos numa indeterminação 0 0 . Olha só:

L = 1 - 1 1 - 1 + 0 ⋅ ln ⁡ 1 = 0 0

Então vamos usar a regra de L’Hospital de novo.

Passo 3

L = lim x → 1 ⁡   x - 1 x - 1 + x ln ⁡ x

Então teremos o seguinte:

L = lim x → 1 ⁡   1 1 - 0 + 1 × ln ⁡ x + x × 1 x

Logo,

L = lim x → 1 ⁡   1 2 + ln ⁡ x

Pra finalizar, basta fazermos x = 1 :

L =   1 2 + ln ⁡ 1 = 1 2

Resposta

L = 1 2

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Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x3 x 3 x
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → ∞ e u 10 u
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 +s e nx l
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. lim x → π 2 - ⁡ c o s
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 s e n h x