Enunciado

Use um gráfico para estimar o valor do limite. Então use a Regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x

Fazendo um gráfico para função x ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x . Temos o seguinte:

Com isso, podemos estimar que o limite será 5, pois quanto maior o valor de x , mais o gráfico se aproxima da reta y = 5 .

Passo 2

Agora vamos usar a regra de L’Hospital para verificar se o limite é realmente 5.

L = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x

Se fizermos x = ∞ :

L = ∞ × 0

Então vamos fazer aparecer uma indeterminação do tipo 0 0 para aplicarmos a regra de L’Hospital. Para isso, vamos passa o x no nosso limite para baixo. Olha só:

L = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x 1 x

Aplicando a regra de L’Hospital:

L = lim x → ∞ ⁡ 1 x + 5 - 1 x - 1 x 2

Isto é,

L = lim x → ∞ ⁡ - - 5 x 2 x 2 + 5 x

Colocando x em evidencia no denominador:

L = lim x → ∞ ⁡ - - 5 x 2 x 2 1 + 5 x

Simplificando:

L = lim x → ∞ ⁡ 5 1 + 5 x

Quando x → ∞ o termo 5 x → 0 . Logo,

L = 5

Resposta

L = 5

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