Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim t → 0 ⁡   5 t - 3 t t

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = lim t → 0 ⁡   5 t - 3 t t

Repare que se fizermos t = 0 logo de cara vamos cair numa indeterminação, olha só:

L = 5 0 - 3 0 0 = 0 0

Viu que deu ruim? Então vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Vem comigo!

Passo 2

L = lim t → 0 ⁡   5 t - 3 t t

Para derivarmos funções do tipo f t = a t , temos que fazer o seguinte:

a t = e l n ( a t )

Isto é,

a t = e t ⋅ l n a

E agora sim derivamos:

a t ' = ln ⁡ a e t ⋅ ln ⁡ a

Logo,

a t ' = ln ⁡ a a t

Agora vamos voltar para o nosso limite. Derivando,

L = lim t → 0 ⁡   ln ⁡ 5 ⋅ 5 t - ln ⁡ 3 ⋅ 3 t 1

Agora acabamos com a indeterminação. Pra finalizar, basta fazermos t = 0 . Assim,

L = ln ⁡ 5 ⋅ 5 0 - ln ⁡ 3 ⋅ 3 0 1

Fazendo as contas:

L = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 3

Portanto,

L = ln ⁡ 5 3

Resposta

L = ln ⁡ 5 3

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