Enunciado

Determine se underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) existe nos seguintes casos:

(b) f (x , y) = (x^2 + y)/(x^2 + y^2) , (x_0 , y_0) = (0 , 0)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo (x , y) tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f (x , y) de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto (0 , 0) no nosso limite, teremos:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^2 + y)/(x^2 + y^2) = (0)/(0)

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos fazer dois cálculos diferentes: esse mesmo limite ao longo do eixo x (ou seja, quando y = 0 ) e ao longo do eixo y ( x = 0 ).

Podemos fazer uma analogia entre esse método e o método do cálculo dos limites laterais quando se tinha apenas uma variável na nossa função. Portanto, caso esses dois limites “laterais” resultem no mesmo valor, o limite dado irá existir.

Passo 3

Logo, para o eixo dos x , temos y = 0 :

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^2 + y)/(x^2 + y^2) = underset(x -> 0)(lim) f (x , 0) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 + 0)/(x^2 + (0)^2)

Então:

underset(x -> 0)(lim) f (x , 0) = underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(x^2) = 1

Agora, vamos verificar para o eixo dos y , tal que x = 0 :

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^2 + y)/(x^2 + y^2) = underset(y -> 0)(lim) f (0 , y) = underset(y -> 0)(lim) ((0)^2 + y)/((0)^2 + y^2)

Assim:

underset(y -> 0)(lim) f (0 , y) = underset(y -> 0)(lim) (y)/(y^2)

underset(y -> 0)(lim) (1)/(y) = + oo

Visto que os dois limites resultaram em valores diferentes, podemos concluir que o limite principal não existe:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^2 + y)/(x^2 + y^2) ∄

E, portanto, a função f (x , y) não é contínua no ponto (0 , 0) e, por isso, não existe neste ponto.

Resposta

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^2 + y)/(x^2 + y^2) ∄

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