Determine se lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y existe nos seguintes casos:

b f(x, y) = (x^2 + y) / (x^2 + y^2), (x_0, y_0) = (0, 0)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo x ,   y tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f x ,   y de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto 0 ,   0 no nosso limite, teremos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y x 2 + y 2 = 0 0

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos fazer dois cálculos diferentes: esse mesmo limite ao longo do eixo x (ou seja, quando y = 0 ) e ao longo do eixo y ( x = 0 ).

Podemos fazer uma analogia entre esse método e o método do cálculo dos limites laterais quando se tinha apenas uma variável na nossa função. Portanto, caso esses dois limites “laterais” resultem no mesmo valor, o limite dado irá existir.

Passo 3

Logo, para o eixo dos x , temos y = 0 :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ f x ,   0 = lim x → 0 ⁡ x 2 + 0 x 2 + 0 2

Então:

lim x → 0 ⁡ f x ,   0 = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 = 1

Agora, vamos verificar para o eixo dos y , tal que x = 0 :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y x 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ f 0 ,   y = lim y → 0 ⁡ 0 2 + y 0 2 + y 2

Assim:

lim y → 0 ⁡ f 0 ,   y = lim y → 0 ⁡ y y 2

lim y → 0 ⁡ 1 y = + ∞

Visto que os dois limites resultaram em valores diferentes, podemos concluir que o limite principal não existe:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y x 2 + y 2   ∄

E, portanto, a função f x ,   y não é contínua no ponto 0 ,   0 e, por isso, não existe neste ponto.

Resposta

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y x 2 + y 2   ∄

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados