Determine se lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y existe nos seguintes casos:

d f(x, y) = xy / (y - 2x), (x_0, y_0) = (1, 2)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo x ,   y tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f x ,   y de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto 1 ,   2 no nosso limite, teremos:

lim x ,  y → 1 ,   2 ⁡ x y y - 2 x = 1 2 2 - 2 1 = 2 0

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos aplicar uma substituição de acordo com os valores para os quais cada variável tende.

Já que temos y tendendo a 2 quando x tende a 1 , podemos usar a seguinte substituição:

y = 2 x

Passo 3

Logo, aplicando a substituição:

lim x ,  y → 1 ,   2 ⁡ x y y - 2 x = lim x → 1 ⁡ x 2 x 2 x - 2 x

Então:

lim x ,  y → 1 ,   2 ⁡ x y y - 2 x = lim x → 1 ⁡ 2 x 2 0

Pelo fato de o limite após a substituição ter resultado em um valor indeterminado ainda, isso mostra que o limite não existe.

Visto que os dois limites resultaram em valores iguais, podemos concluir que o limite principal existe e terá esse mesmo valor:

lim x ,  y → 1 ,   2 ⁡ x y y - 2 x   ∄

E, portanto, a função f x ,   y não é contínua no ponto 1 ,   2 .

Resposta

lim x ,  y → 1 ,   2 ⁡ x y y - 2 x   ∄

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