Enunciado

Determine se underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) existe nos seguintes casos:

(d) f (x , y) = (x y)/(y - 2 x) , (x_0 , y_0) = (1 , 2)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo (x , y) tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f (x , y) de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto (1 , 2) no nosso limite, teremos:

underset((x , y) -> (1 , 2))(lim) (x y)/(y - 2 x) = ((1) (2))/(2 - 2 (1)) = (2)/(0)

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos aplicar uma substituição de acordo com os valores para os quais cada variável tende.

Já que temos y tendendo a 2 quando x tende a 1 , podemos usar a seguinte substituição:

y = 2 x

Passo 3

Logo, aplicando a substituição:

underset((x , y) -> (1 , 2))(lim) (x y)/(y - 2 x) = underset(x -> 1)(lim) (x (2 x))/((2 x) - 2 x)

Então:

underset((x , y) -> (1 , 2))(lim) (x y)/(y - 2 x) = underset(x -> 1)(lim) (2 x^2)/(0)

Pelo fato de o limite após a substituição ter resultado em um valor indeterminado ainda, isso mostra que o limite não existe.

Visto que os dois limites resultaram em valores iguais, podemos concluir que o limite principal existe e terá esse mesmo valor:

underset((x , y) -> (1 , 2))(lim) (x y)/(y - 2 x) ∄

E, portanto, a função f (x , y) não é contínua no ponto (1 , 2) .

Resposta

underset((x , y) -> (1 , 2))(lim) (x y)/(y - 2 x) ∄

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