Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x →   2 ⁡ ( x 2 + 2 x - 7 ) = 1

Passo 1

E aeee, belezinha? Bom... Para fazermos essa, temos que lembrarmos da definição de limite, olha só:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Onde a é o valor para onde x está tendendo.

Agora vamos aplicar em nossa função!! ����

Passo 2

Dado um ϵ > 0 , precisamos de um número δ > 0 que dependa de ϵ tal que:

x - 2 < δ , então x 2 + 2 x - 7 - 1 < ϵ

Vamos mexer com o seguinte:

x 2 + 2 x - 8 < ϵ

Como as raízes de x 2 + 2 x - 8 são - 4 e 2 . Podemos reescrever assim:

( x - 2 ) ( x + 4 ) < ϵ

Assim,

x - 2 | ⋅ | x + 4 < ϵ     ( i )

Vamos chamar essa equação de i , pois vamos usá-la mais tarde!

Passo 3

Agora chega à parte mais delicada!

Repare que:

x - 2 < 1

Pois estamos com x tendendo a 2 , então nosso valores estão muito próximos de 2 . Assim,

- 1 < x - 2 < 1

Isto é,

1 < x < 3

Somando 4 para aparecer o termo x + 4 :

5 < x + 4 < 7

Então o nosso | x + 4 | fica o seguinte:

0 < x + 4 < 7

Passo 4

Voltando para nossa equação   ( i ) :

x - 2 | ⋅ | x + 4 < ϵ    

Como 0 < x + 4 < 7 :

x - 2 < ϵ 7

Como queremos achar um valor de δ tal que:

x - 2 < δ

E sabemos que:

x - 2 < ϵ 7

Então, basta pegarmos o δ = ϵ 7 que iremos satisfazer a definição, veja:

x - 2 < δ , então x 2 + 2 x - 7 - 1 < ϵ

Assim,

lim x →   2 ⁡ ( x 2 + 2 x - 7 ) = 1

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)
(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.18.Se existir lim x → a ⁡ f ( x ) , então também existem lim x → a - ⁡ f ( x ) e lim x → a + ⁡ f ( x ) .
(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)
(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)