Enunciado

Demonstre cada afirmação usando ϵ δ a definição de limite.

lim x → 1 ⁡ 2 + 4 x 3 = 2

Passo 1

Opa!Vamos fazer essa questão! O enunciado pede pra a gente escrever o limite dado em termos de ϵ e δ :

lim x → 1 ⁡ 2 + 4 x 3 = 2

Para isso vamos precisar relembrar a definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Vamos reescrever essas condições sem os módulos e substituir as nossas variáveis pra ficar mais fácil visualizar:

- δ < x - 1 < δ

- ϵ < 2 + 4 x 3 - 2 < ϵ

Beleza, agora vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Temos que:

- ϵ < 2 + 4 x 3 - 2 < ϵ

Vamos manipular essa equação até conseguirmos relacionar ϵ e δ ! Somando 2 e multiplicar 3 em toda a inequação:

3 - ϵ + 2 < 2 + 4 x < 3 ϵ + 2

Diminuindo 2 e dividindo por 4 temos:

3 - ϵ + 2 - 2 4 < x < 3 ϵ + 2 - 2 4

- 3 ϵ 4 + 1 < x < 3 ϵ 4 + 1

Lembrando que:

- δ < x - 1 < δ

- δ + 1 < x < δ + 1

Então por comparação podemos definir:

δ = 3 ϵ 4

Passo 3

Podemos então escrever:

lim x → 1 ⁡ 2 + 4 x 3 = 2

Se 0 < x - 1 < 3 ϵ 4 então 2 + 4 x 3 - 2 < ϵ

Prontinho!

Resposta

lim x → 1 ⁡ 2 + 4 x 3 = 2

Se 0 < x - 1 < 3 ϵ 4 então 2 + 4 x 3 - 2 < ϵ

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