Seja F x = ∫ 2 x 3 t 2 + 1 d t . Encontre:

(a) F(2)

(b) F'(2)

(c) F''(2)

Passo 1

(a) Para achar F ( 2 ) , é só substituir x por 2 e calcular a integral:

F 2 = ∫ 2 2 3 t 2 + 1

Mas uma integral de 2 até 2 é nula, né? Porque a área de 2 até 2 não existe. Logo:

F 2 = 0

Passo 2

(b) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a g x f t d t = f g x g ' ( x )

Então:

F ' x = d d x ∫ 2 x 3 t 2 + 1 d t = 3 x 2 + 1 x ' = 3 x 2 + 1 ( 1 )

d d x ∫ 2 x 3 t 2 + 1 d t = 3 x 2 + 1

Substituindo x por 2 :

F ' 2 = 3 ( 2 ) 2 + 1 = 13

Passo 3

(c) Como já temos F ' ( x ) , só precisamos derivar ele mais uma vez:

F ' x = 3 x 2 + 1

Pela regra do cadeia:

F ' ' x = 6 x 2 3 x 2 + 1 = 3 x 3 x 2 + 1  

Substituindo x por 2 :

F ' ' 2 = 3 ( 2 ) 3 2 2 + 1

F ' ' 2 = 6 13

Resposta

(a) 0

(b) 13

(c) 6 13

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