Enunciado

Demonstre cada afirmação usando ϵ δ a definição de limite.

lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5

Passo 1

Opa! Vamos fazer essa questão! O enunciado pede pra a gente escrever o limite dado em termos de ϵ e δ :

lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5

Para isso vamos precisar relembrar a definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Vamos reescrever essas condições sem os módulos e substituir as nossas variáveis pra ficar mais fácil visualizar:

- δ < x - 10 < δ

- ϵ < 3 - 4 5 x + 5 < ϵ

- ϵ < - 4 5 x + 8 < ϵ

Beleza, agora vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Temos que:

- ϵ < - 4 5 x + 8 < ϵ

Vamos manipular essa equação até conseguirmos relacionar ϵ e δ ! Primeiro vamos subtrair 8 de toda a inequação:

- ϵ - 8 < - 4 5 x < ϵ - 8

Vamos multiplicar tudo por 5 / 4 :

- 5 ϵ 4 - 10 < - x < 5 ϵ 10 - 10

Agora, multiplicando por - 1 :

5 ϵ 4 + 10 > x > - 5 ϵ 10 + 10

Que é o mesmo que dizer que:

- 5 4 ϵ + 10 < x < 5 4 ϵ + 10

Lembrando que:

- δ < x - 10 < δ

- δ + 10 < x < δ + 10

Então por comparação podemos definir:

δ = 5 4 ϵ

Passo 3

Podemos então escrever:

lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5

Se 0 < x - 10 < 5 4 ϵ então 3 - 4 5 x + 5 < ϵ

Prontinho!

Resposta

lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5

Se 0 < x - 10 < 5 4 ϵ então 3 - 4 5 x + 5 < ϵ

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