Encontre os limites.

13. lim t → 2 ⁡ t 3 + 3 t 2 - 12 t + 4 t 3 - 4 t

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo 0 0 , ∞ ∞ , ∞ 0 e 0 ∞ .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos 2 direto em t, chegamos à indeterminação 0 0 . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos fatorar o numerador, por produtos notáveis, até chegarmos a uma parcela igual à do denominador, e cancelá-la!

Passo 3

lim t → 2 ⁡ t 3 + 3 t 2 - 12 t + 4 t 3 - 4 t =

Aqui, a opção é fazer a decomposição do polinômio de 3º grau, por Briot-Ruffini, em termos mais simples!

lim t → 2 ⁡ ( t - 2 ) ( t 2 + 5 t - 2 ) ( t - 2 ) ( t 2 + 2 t ) = lim t → 2 ⁡ ( t 2 + 5 t - 2 ) ( t 2 + 2 t ) =

( 2 2 + 5 ∙ 2 - 2 ) ( 2 2 + 2 ∙ 2 ) = 4 + 10 - 2 4 + 4 =

12 8 = 3 2

Resposta

lim t → 2 ⁡ t 3 + 3 t 2 - 12 t + 4 t 3 - 4 t = 3 2

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