Enunciado

Encontre os limites.

30. underset(y -> 4)(lim) (4 - y)/(2 - sqrt(y))

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo (0)/(0) , (oo)/(oo) , (oo)/(0) e (0)/(oo) .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos 4 direto em y , chegamos à indeterminação (0)/(0) . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos aplicar a regra de l’Hopital, em que derivamos a função (numerador e denominador como funções diferentes!), até sairmos da indeterminação!

Passo 3

underset(y -> 4)(lim) (4 - y)/(2 - sqrt(y)) = underset(y -> 4)(l i m) (- 1)/(- (1)/(2 sqrt(y))) =

= underset(y -> 4)(l i m) 2 sqrt(y) = 2 sqrt(4) = 2 * 2 = 4

Resposta

underset(y -> 4)(lim) (4 - y)/(2 - sqrt(y)) = 4

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 4 ⁡ 7 - 3 x = - 5
22. lim x → - 3 2 ⁡ 9 - 4 x 2 3 + 2 x = 6
20. lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5
21. lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5