Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 1
- Encontre os polinômios de Taylor até o grau 6 de centrados em . Trace e esses polinômios na mesma tela.
- Calcule e esses polinômios em e .
- Comente como os polinômios de Taylor convergem para .
Passo 1
- Para encontrar os polinômios de Taylor, vamos usar a série que já conhecemos
- Para
- Podemos perceber nos cálculos do item anterior que para valores próximos no centro da série, , os primeiros polinômios já fazer um bom trabalho em estimar a função com boa precisão, mas a medida que nos afastamos deste centro, podemos ter um resultado muito distante, como em , o , quase unidades de diferença do valor real da função , mas se pegarmos que já é bem mais próximo do valor real.
Então vamos dizer que seja a soma parcial da série, para encontarmos até o grau 6, vamos fazer ir até 3, nos dando 4 polinômios, quando
Passo 2
Agora que temos todos os polinômios, vamos jogar no gráfico
Em vermelho temos e em cinza os polinômios de Taylor.
Passo 3
Para
Para
Passo 4
Então concluimos que a medida que nos afastamos do centro da série, precisaremos de um polinômio maior para ter uma boa estimativa para o valor da função, podemos até perceber a veracidade desta conclusão analisando o gráfico, a cada o polinômio tende a se comportar mais como a função .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Encontre a série de Maclaurin de f (através de qualquer método) e o seu raio de convergência. Faça o gráfico de f e os seus primeiros polinômios de Taylor no mesmo gráfico. O que você percebe sobre a
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Prove que a série obtida no exercício 18 representa cos h x para qualquer x .
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Espeficique o raio de convergência.
Use a série de Maclaurin para cos x para computar o valor de cos 5 ° com precisão de 5 casas decimais.