Enunciado

  1. Encontre os polinômios de Taylor até o grau 6 de f x = cos ⁡ x centrados em a = 0 . Trace f e esses polinômios na mesma tela.
  2. Calcule f e esses polinômios em x = π / 4 ,   π / 2 e π .
  3. Comente como os polinômios de Taylor convergem para f ( x ) .

Passo 1

  1. Para encontrar os polinômios de Taylor, vamos usar a série que já conhecemos
  2. f x = cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

    Então vamos dizer que T n seja a soma parcial da série, para encontarmos até o grau 6, vamos fazer n ir até 3, nos dando 4 polinômios, quando n = { 0,1 , 2,3 }

    T 0 = 1

    T 1 = 1 - x 2 2

    T 2 = 1 - x 2 2 + x 4 24

    T 4 = 1 - x 2 2 + x 4 2 4 - x 6 720

    Passo 2

    Agora que temos todos os polinômios, vamos jogar no gráfico

    Em vermelho temos cos ⁡ x e em cinza os polinômios de Taylor.

    Passo 3

  3. Para x = π / 4
  4. f π 4 = cos ⁡ π 4 = 2 2 = 0,70711 …

    T 0 π 4 = 1

    T 1 π 4 = 1 - π 4 2 2 = 1 - π 2 32 = 0,69157 …

    T 2 π 4 = 1 - π 4 2 2 + π 4 2 24 = 1 - π 2 32 + π 4 6144 = 0,70743 …

    T 3 π 4 = 1 - π 4 2 2 + π 4 2 24 - π 4 6 720 = 1 - π 2 32 + π 4 6144 - π 6 2949120 = 0,70710 …

    Para x = π / 2  

    f π 2 = cos ⁡ π 2 = 0

    T 0 π 2 = 1

    T 1 π 2 = 1 - π 2 2 2 = 1 - π 2 8 = - 0,23370 …

    T 2 π 2 = 1 - π 2 2 2 + π 2 2 24 = 1 - π 2 8 + π 4 384 = 0,01997 …

    T 3 π 2 = 1 - π 2 2 2 + π 2 2 24 - π 2 6 720 = 1 - π 2 8 + π 4 384 - π 6 46080 = - 0,00089 …

    Para x = π

    f π = cos ⁡ π = - 1

    T 0 π = 1

    T 1 π = 1 - π 2 2 = - 3,93480 …

    T 2 π = 1 - π 2 2 + π 2 24 = 0,12391 …

    T 3 π = 1 - π 2 2 + π 2 24 - π 6 720 = - 1,21135 …

    Passo 4

  5. Podemos perceber nos cálculos do item anterior que para valores próximos no centro da série, a = 0 , os primeiros polinômios já fazer um bom trabalho em estimar a função com boa precisão, mas a medida que nos afastamos deste centro, podemos ter um resultado muito distante, como em x = π , o T 1 π = - 3,93480 … , quase 3 unidades de diferença do valor real da função - 1 , mas se pegarmos T 3 π = 1,21135 … que já é bem mais próximo do valor real.

Então concluimos que a medida que nos afastamos do centro da série, precisaremos de um polinômio maior para ter uma boa estimativa para o valor da função, podemos até perceber a veracidade desta conclusão analisando o gráfico, a cada n o polinômio tende a se comportar mais como a função f .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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