Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f (através de qualquer método) e o seu raio de convergência. Faça o gráfico de f e os seus primeiros polinômios de Taylor no mesmo gráfico. O que você percebe sobre a relação entre esses polinômios e f ?

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = l n ⁡ ( 1 + x 2 )

Com o auxílio da Tabela 1, temos que:

l n ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . x n n

Passo 2

Dessa forma:

l n ⁡ ( 1 + x 2 ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . x 2 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . x 2 n n

= x 2 - 1 2 x 4 + 1 3 x 6 - 1 4 x 8 + …

Passo 3

A série para l n ⁡ ( 1 + x ) converge para x 2 < 1 , logo, seu raio de convergência é R = 1 . Dessa forma, a série para f ( x ) também possui um raio de convergência:

R = 1

O gráfico que compara f e os primeiros polinômios de Taylor é mostrado a seguir:

Através do gráfico é possível notar que T n ( x ) se aproxima de f ( x ) próximo de zero conforme n aumenta.

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . x 2 n n

R = 1

Através do gráfico é possível notar que T n ( x ) se aproxima de f ( x ) próximo de zero conforme n aumenta.

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