Enunciado

Prove que a série obtida no exercício 18 representa cos h ⁡ x para qualquer x .

Passo 1

Se f x = cos h ⁡ x , então, para todo n , temos:

f n + 1 x = cosh ⁡ x       o u       senh ⁡ x

Uma vez que senh ⁡ x < cosh ⁡ x = cosh ⁡ x para qualquer x , temos então, para qualquer n :

f n + 1 ( x ) ≤ cosh ⁡ x

Passo 2

Agora, se temos um número d qualquer, positivo, de tal forma que x ≤ d , então:

f n + 1 ( x ) ≤ cosh ⁡ x ≤ cosh ⁡ d

Dessa forma, de acordo com a fórmula 9 apresentada nessa seção com a = 0 e M = cosh ⁡ d , temos:

R n x ≤ cosh ⁡ d n + 1 ! x n + 1

E, é possível observar que, para x ≤ d , quando n → ∞ :

R n x → 0

Passo 3

No entanto, no passo 2 consideramos d como um número positivo qualquer, sendo assim, pelo teorema 8, a série representa cos h ⁡ x para qualquer x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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