Enunciado

Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

r = 1 + cos ⁡ θ

Passo 1

Para calcular a inclinação da reta tangente basta usar a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:

d y d θ = 0   e   d x d θ ≠ 0

Para achar os pontos onde a tangente é vertical é necessário que:

d x d θ = 0   e   d y d θ ≠ 0

Passo 2

Para isso vamos achar o que é y ( θ )

y = r sen ⁡ θ

Substituindo r = 1 + cos ⁡ θ  

y = 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ = sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora achando x ( θ ) , substiruindo r = 1 + cos ⁡ θ

x = r cos ⁡ θ

x = 1 + cos ⁡ θ cos ⁡ θ = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Passo 3

Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar y = sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ

d y d θ = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Igualando a zero

d y d θ = 0

cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 0

Para acharmos uma resposta, precisaremos fazer uma mudança de variáveis, mas só ira funcionar se só tivermos uma função trigonométrica na nossa equação, para isso vamos substituir sen 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) = 0

cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - 1 + cos 2 ⁡ θ = 0

2 cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 = 0

Para resolver, vamos fazer u = cos ⁡ θ , para resolver a equação de segundo grau

2 u 2 + u - 1 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau por Bhaskara

Δ = ( 1 ) 2 - 4 ( 2 ) ( - 1 )

Δ = 1 + 8 = 9

u = - 1 ± 3 2 ⋅ 2 = - 1 ± 3 4

u 1 = 2 4 = 1 2

u 2 = - 4 4 = - 1

Para o primeiro valor de u , quais valores de θ fazem com que cos ⁡ θ = 1 / 2 ? Para

θ 1 = π / 3

θ 2 = 5 π / 3

Para o segundo valor de u , qual valor de θ faz com que cos ⁡ θ = - 1 ? Para

θ 3 = π

Passo 4

Para achar as tangentes verticais, vamos derivar x = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

d x d θ = - sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ = - sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Zerando a derivada

d x d θ = 0

- sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 0

Somando sen ⁡ θ na equação

- 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = sen ⁡ θ

Dividindo a equação por sen ⁡ θ , assumindo que sen ⁡ θ ≠ 0

- 2 cos ⁡ θ = 1

Dividindo a equação por - 2

cos ⁡ θ = - 1 2

Para quais valores de θ o cos ⁡ θ = - 1 / 2 ? Para

θ 4 = 2 π 3

θ 5 = 4 π 3

Mas se sen ⁡ θ = 0 ? Isso ocorre nos ângulos

θ 6 = 0

θ 7 = π

Passo 5

Observe que θ 3 = θ 7 , ou seja, para θ = π , d y d θ = 0 e   d x d θ = 0 , portanto vamos analisar melhor esse ponto. Para essa analise, vamos calcular o limite

lim θ → π ⁡ d y d x = lim θ → π ⁡ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Aplicando L’Hôspital

lim θ → π ⁡ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = lim θ → π ⁡ - sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ =

lim θ → π ⁡ - sen ⁡ θ - 4 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ = 0

Portanto, para θ = π temos uma tangente horizontal.

Passo 6

Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular r para cada θ achado.

Para tangentes horizontais, com θ 1 = π 3 , θ 2 = 5 π 3 e θ 3 = π

r 1 = 1 + cos ⁡ π 3 = 1 + 1 2

r 1 = 3 2

r 2 = 1 + cos ⁡ 5 π 3 = 1 + 1 2

r 2 = 3 2

r 3 = 1 + cos ⁡ π = 1 + ( - 1 )

r 3 = 0

Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato ( r , θ ) são 3 2 , π 3 , 3 2 , 5 π 3 e ( 0 , π ) .

Para tangentes verticais, com θ 4 = 2 π 3 , θ 5 = 4 π 3 e θ 6 = 0

r 4 = 1 + cos ⁡ 2 π 3 = 1 + - 1 2 = 1 - 1 2

r 4 = 1 2

r 5 = 1 + cos ⁡ 4 π 3 = 1 + - 1 2 = 1 - 1 2

r 5 = 1 2

r 6 = 1 + cos ⁡ 0

r 6 = 2

Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato ( r , θ ) são 1 2 , 2 π 3 , 1 2 , 4 π 3 e ( 2,0 ) .

Resposta

Horizontais: 3 2 , π 3 , 3 2 , 5 π 3 e ( 0 , π ) .

Verticais: 1 2 , 2 π 3 , 1 2 , 4 π 3 e ( 2,0 ) .

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