Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 63
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
Para calcular a inclinação da reta tangente basta usar a fórmula:
Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:
Para achar os pontos onde a tangente é vertical é necessário que:
Passo 2
Para isso vamos achar o que é
Substituindo
Agora achando , substiruindo
Passo 3
Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar
Igualando a zero
Para acharmos uma resposta, precisaremos fazer uma mudança de variáveis, mas só ira funcionar se só tivermos uma função trigonométrica na nossa equação, para isso vamos substituir
Para resolver, vamos fazer , para resolver a equação de segundo grau
Resolvendo a equação do segundo grau por Bhaskara
Para o primeiro valor de , quais valores de fazem com que ? Para
Para o segundo valor de , qual valor de faz com que ? Para
Passo 4
Para achar as tangentes verticais, vamos derivar
Zerando a derivada
Somando na equação
Dividindo a equação por , assumindo que
Dividindo a equação por
Para quais valores de o ? Para
Mas se ? Isso ocorre nos ângulos
Passo 5
Observe que , ou seja, para , e , portanto vamos analisar melhor esse ponto. Para essa analise, vamos calcular o limite
Aplicando L’Hôspital
Portanto, para temos uma tangente horizontal.
Passo 6
Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular para cada achado.
Para tangentes horizontais, com , e
Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato são , e .
Para tangentes verticais, com , e
Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato são , e .
Resposta
Horizontais: , e .
Verticais: , e .