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Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

14. r = 3 - 3 c o s θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Primeiro vamos encontrar   d r d θ :

d r d θ = 3 s e n θ

Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:

t g α = 3 t g θ s e n θ + 3 - 3 c o s θ 3 s e n θ - 3 - 3 c o s θ t g θ

Passo 2

As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois a inclinação dessas retas é zero:

3 t g θ s e n θ + 3 - 3 c o s θ = 0

Reescrevendo:

3 s e n θ c o s θ s e n θ + 3 - 3 c o s θ = 0

3 s e n 2 θ + 3 c o s θ - 3 c o s 2 θ = 0

Utilizando a relação trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ

Substituindo:

3 1 - c o s 2 θ + 3 c o s θ - 3 c o s 2 θ = 0

- 6 c o s 2 θ + 3 c o s θ + 3 = 0

c o s 2 θ - 1 2 c o s θ - 1 2 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara (apenas o valor negativo do resultado foi considerado, pois o outro não corresponde a um ponto de reta tangente horizontal):

c o s θ = 1 - 3 4 = - 1 2 → θ = 2 π 3   e   θ = 4 π 3

Agora podemos obter o valor de r:

r = 3 - 3 . - 1 2 = 9 2

E as coordenadas cartesianas para θ = 2 π 3 serão:

x = 9 2 c o s 2 π 3 = - 9 4

y = 9 2 s e n 2 π 3 = 9 3 4

E para θ = 4 π 3 :

x = 9 2 c o s 4 π 3 = - 9 4

y = 9 2 s e n 4 π 3 = - 9 3 4

Os pontos onde as retas horizontais tangenciam na curva serão - 9 4 ,   9 3 4   e   - 9 4 ,   - 9 3 4

Passo 3

Para as retas verticais, precisamos igualar o denominador a zero, para que a inclinação tenda para infinito:

3 s e n θ - 3 - 3 c o s θ t g θ = 0

Reescrevendo:

3 s e n θ - 3 - 3 c o s θ s e n θ c o s θ = 0

3 s e n θ c o s θ - 3 - 3 c o s θ s e n θ = 0

s e n θ 3 c o s θ - 3 - 3 c o s θ = 0

3 c o s θ - 3 - 3 c o s θ = 0

6 c o s θ = 3

c o s θ = 1 2 → θ = 5 π 3   e   θ = π 3

Agora podemos calcular o valor de r:

r = 3 - 3 2 = 3 2

As coordenadas cartesianas para   θ = π 3 serão:

x = 3 2 c o s π 3 = 3 4

y = 3 2 s e n π 3 = 3 3 4

E para θ = 5 π 3 :

x = 2 c o s 5 π 3 = 3 4

y = 3 2 s e n 5 π 3 = - 3 3 4

E apenas uma reta vertical será tangente em dois pontos diferentes: 3 4 , 3 3 4 e : 3 4 , - 3 3 4

Passo 4

O esboço do gráfico será:

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