Enunciado

Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.

x = cos ⁡ θ ,   y = cos ⁡ 3 θ

Passo 1

Toda a curva é traçada para 0 ≤ θ ≤ π .

E então, vamos derivar a função y = cos ⁡ 3 θ , assim, temos que:

d y d θ = - 3 sen ⁡ 3 θ

E

d y d θ = 0

Se sen ⁡ 3 θ = 0 , isso implica que:

3 θ = 0 , π , 2 π   o u   3 π

E então,

θ = 0 , π 3 , 2 π 3   o u   π

E os pontos são:

x , y = 1,1 , 1 2 , - 1 , - 1 2 , 1   o u   - 1 , - 1

Passo 2

Agora vamos derivar x = cos ⁡ θ :

d x d θ = - sen ⁡ θ

E

d x d θ = 0

Se sen ⁡ θ = 0 , isso implica que θ = 0   o u   π .

E os pontos são:

x , y = 1,1   o u   ( - 1 , - 1 )

Passo 3

Ambos d y d θ e d x d θ são iguais a zero quando θ = 0 e θ = π .

Para encontrar a inclinação quando θ = 0 , precisamos encontrar:

lim θ → 0 ⁡ d y d x = lim θ → 0 ⁡ - 3 sen ⁡ 3 θ - sen ⁡ θ = 9  

que é a mesma inclinação quando θ = π .

Assim, a curva tem tangentes horizontais em 1 2 , - 1 e - 1 2 , 1 e não há tangentes verticais.

E a cruva fica da seguinte maneira:

Resposta

A curva tem tangentes horizontais em 1 2 , - 1 e - 1 2 , 1 e não há tangentes verticais.

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Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = cos ⁡ θ + s e nθ
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = cos ⁡ 2 θ
Encontre a área delimitada pelo eixo x e a curva x = t 3 + 1 ,y = 2 t - t 2 .
Trace a curva x = - 2 cos ⁡ t ,y = s e nt + s e n2 t para descobrir onde a curva intercepta ela mesma. Depois, encontre as equações de ambas as tangentes nesse ponto.
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado: x = e t y = t - ln ⁡ t 2 t = 1