Enunciado

Encontre a área delimitada pelo eixo x e a curva x = t 3 + 1 ,   y = 2 t - t 2 .

Passo 1

Eaee, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:

  x = t 3 + 1

  y = 2 t - t 2

Queremos encontrar a área delimitada pelo eixo x e essa curva aí.

Primeiramente a gente vai fazer y = 0 para encontrar os valores de t que intersectam x .

É para ter duas intersecções, que serão os limites da nossa integral, que por meio dela iremos calcular a nossa área A :

A = ∫ a b y x ' d t

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos começar vendo onde a curva intersecta o eixo x :

y = 2 t - t 2 = 0

t 2 - t = 0

t = 0   ou   t = 2

Em que 0 será o limite inferior e 2 será o superior.

Passo 3

A área a gente faz assim:

A = ∫ 0 2 2 t - t 2 x ' d t

Derivando x , temos que x 3 ' = 3 x 2 , portanto:

A = ∫ 0 2 2 t - t 2 3 t 2 d t

A = ∫ 0 2 6 t 3 - 3 t 4 d t

Agora a gente resolve a integral:

A = 6 t 4 4 - 3 t 5 5 0 2

A = 6 2 4 4 - 3 2 5 5

A = 96 4 - 96 5

A = 24 5

Prontinho! Essa é a área😊

Resposta

A = 24 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja P x 1 , y 1 um ponto na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 com focos F 1 e F 2 e seja α e β os ângulos entre as retas P F 1 , P F 2 e a elipse, como na figura. Demonstre que α = β . Isso explica como g
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 2 sen ⁡ θ ,θ = π / 6
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = cos ⁡ ( θ / 3 ) ,θ = π
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = cos ⁡ ( 2 θ ) ,θ = π / 4
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 2 - sen ⁡ θ ,θ = π / 3