Enunciado

Trace a curva x = - 2 cos ⁡ t ,   y = s e n   t + s e n   2 t para descobrir onde a curva intercepta ela mesma. Depois, encontre as equações de ambas as tangentes nesse ponto.

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... a questão é bem direta aqui... queremos traçar a curva parametrizada pelas seguintes equações:

x = - 2 cos ⁡ t

y = s e n   t + s e n   2 t

Depois de traçar essa curva, queremos encontrar o ponto onde a curva intercepta ela mesma e, com isso, calcular as tangentes nesse ponto.

Isso mesmo... “as tangentes”. Pois como há interceptação, então podemos ter mais de uma tangente.

Lembrando que para calcular a tangente em um ponto a gente aplica a derivada, que vai ser o nosso coeficiente angular:

d y d x =   d y / d t d x / d t

Depois que calcularmos a derivada, aplicaremos na equação da reta para descobrir a tangente naquele ponto:

y - y 0 =   d y d x x - x 0

Onde x 0 ,   y 0 representa as coordenadas de um ponto conhecido.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Bom... utilizando uma ferramenta gráfica, obtemos:

O ponto em que ele intersecta a si mesmo então é ( 1,0 ) , certo?

Ou seja, quando t = 2 π 3 ou t = 4 π 3 .

Ahh... outra coisa: Por esse gráfico a gente pode verificar os pontos conhecidos.

Em uma tangente teremos o ponto 0,1 e na outra teremos o ponto 0 ,   - 1 .

Isso significa que basta a gente encontrar uma equação da reta tangente para depois só mudar o sinal hehe.

Quer saber como?? Bora lá!!

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada para depois substituirmos pelos valores de t :

d y d x =   d y / d t d x / d t

d y d x = d d t s e n   t + s e n   2 t d d t - 2 cos ⁡ t

Aplicando a soma de derivadas:

d y d x = d d t s e n   t + d d t s e n   2 t d d t - 2 cos ⁡ t

Sabemos que a derivada do seno é o cosseno. E que a derivada do cosseno é o seno negativo. Assim, temos:

d y d x = cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t 2 s e n   t

Beleza, vamos substituir os pontos...

Passo 4

Para t = 2 π 3 temos:

d y d x t = 2 π 3 = cos ⁡ 2 π 3 + cos ⁡ 2 π 3 2   s e n   2 π 3 ∴

d y d x t = 2 π 3 =   - 2 2 3 ∴

d y d x t = 2 π 3 = - 3 3

E pra t = 4 π 3 :

d y d x t = 4 π 3 = cos ⁡ 4 π 3 + cos ⁡ 4 π 3 2   s e n   4 π 3 ∴

d y d x t = 4 π 3 = 3 3

Esses são os coeficientes angulares das nossas retas tangentes.

Passo 5

Montamos as equações agora da reta tangente:

y 1 =   - 3 3 x - 1

y 1 =   - 3 3 x + 3 3

Assim, alterando o sinal, encontramos a outra reta tangente:

y 2 = 3 3 x - 3 3

Prontinho galera!!

Resposta

y 1 =   - 3 3 x + 3 3

y 2 = 3 3 x - 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r 2 = sen ⁡ 2 θ
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 - 2 cos ⁡ θ ,θ = π / 3
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 θ ,θ = π
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = 3 cos ⁡ θ
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = 2 + sen ⁡ θ