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Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

1 9 )   g x = { x ² ,     s e   x ≤ 0 - x 2 ,     s e   0 < x  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

g x = { x ² ,     s e   x ≤ 0 - x 2 ,     s e   0 < x  

g ' x = { 2 x ,     s e   x < 0 - 2 x ,     s e   x > 0

g ' ' x = { 2 ,     s e   x < 0 - 2 ,     s e   x > 0

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por g ' ' x = 0 . Neste caso, g ' ' x nunca será igual a 0.

Passo 2

Segundo a Definição 4.5.4, determinado ponto c é de inflexão se passar por ele uma reta tangente e se a concavidade mudar de direção em valores maiores e menores que o ponto c.

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

g ' ( x ) = lim x → c ⁡ g x - g ( c ) x - c

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

g ' x = lim x → 0 + ⁡ g x - g c x - c = 0

g ' x = lim x → 0 - ⁡ g x - g c x - c = 0

Então:

g ' 0 = 0

Ou seja, há uma reta tangente que passa sobre o ponto x = 0 .

Analogamente:

g ' ' 0   n ã o   e x i s t e

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, há mudança na concavidade e há reta tangente que passe por esse ponto, então   x = 0 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Ponto de inflexão: x = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y =
Suponha que f ' ' x > 0 em a ,   + ∞ e que existe x 0 > a t
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , x &nb
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e
Seja f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , a ≠ 0 . Prove que f admite um úni
Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p ≠ 0 , então diremos que p é
Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p = 0 , então diremos que p é
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.m) y =
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.f) g x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.l) g x
g) y =   x 1 + x 2