Enunciado

Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

1 9 )   g x = { x ² ,     s e   x ≤ 0 - x 2 ,     s e   0 < x  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

g x = { x ² ,     s e   x ≤ 0 - x 2 ,     s e   0 < x  

g ' x = { 2 x ,     s e   x < 0 - 2 x ,     s e   x > 0

g ' ' x = { 2 ,     s e   x < 0 - 2 ,     s e   x > 0

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por g ' ' x = 0 . Neste caso, g ' ' x nunca será igual a 0.

Passo 2

Segundo a Definição 4.5.4, determinado ponto c é de inflexão se passar por ele uma reta tangente e se a concavidade mudar de direção em valores maiores e menores que o ponto c.

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

g ' ( x ) = lim x → c ⁡ g x - g ( c ) x - c

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

g ' x = lim x → 0 + ⁡ g x - g c x - c = 0

g ' x = lim x → 0 - ⁡ g x - g c x - c = 0

Então:

g ' 0 = 0

Ou seja, há uma reta tangente que passa sobre o ponto x = 0 .

Analogamente:

g ' ' 0   n ã o   e x i s t e

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, há mudança na concavidade e há reta tangente que passe por esse ponto, então   x = 0 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Ponto de inflexão: x = 0 .

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