Enunciado

Encontre a primeira derivadas parciais da função.

z = ln ( x + t^2 )

Passo 1

Para determinar derivadas parciais é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e trata-las como valores constantes. É importante destacar que quando um termo só está em função de uma variável e estamos derivando em relação à outra, ou seja, consideramos esta constante, a sua derivada é igual a zero.

Passo 2

Seja a função

z = ln ( x + t^2 )

Fixando a variável t , vamos derivar em relação a x . Note que para essa função vamos utilizar uma regrinha da cadeia que é a derivada de fora vezes a derivada de dentro, logo:

Obs.: a derivada de ln (f (x)) = (1)/(f (x)) .

z_x = (1)/(x + t^2)

Passo 3

Repetindo o mesmo raciocínio para derivarmos em relação a t , fixamos a varivale x e utilizamos da ferramenta da regra da cadeia.

Logo,

z_t = (2 t)/(x + t^2)

Resposta

z_x = (1)/(x + t^2)

z_t = (2 t)/(x + t^2)

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95. Sejaf (x , y) = {[[(x^3 y - x y^3)/(x^2 + y^2),s,e,,(x , y),!=,(0,0)],[0,s,e,,(x , y),=,(0,0)]]) d) Mostre que f_x y (0,0) = - 1 e f_y x (0,0) = 1 .
Nos Exercícios 57-60, utilize a definição limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados