95. Seja

f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

d) Mostre que f_xy(0,0) = -1 e f_yx(0,0) = 1 .

Passo 1

Nessa questão, temos que lembrar da definição de derivada parcial que nos remete ao cálculo de derivada, olha só:

f x a , b = lim h → 0 ⁡ f a + h , b - f a , b h

Em relação ao y é bem parecido, olha só:

f y a , b = lim h → 0 ⁡ f a , b + h - f a , b h

Lá do item b), temos o seguinte:

f x x , y = y x 4 + 4 x 2 y 2 - y 4 x 2 + y 2 2

f y x , y = x 5 - 4 x 3 y 2 - x y 4 x 2 + y 2 2

Passo 2

Como queremos encontrar f x y 0,0 , vamos fazer o seguinte:

f x y 0,0 = f x y 0,0

Logo,

f x y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 , h - f x 0,0 h     ( i )

Primeiro vamos encontrar f x h , 0 . Do Passo 1:

f x h , 0 = h ⋅ 0 4 + 4 ⋅ 0 2 ⋅ h 2 - h 4 0 2 + h 2 2 = - h 5 h 4

Assim,

f x 0 , h = - h

Como f x 0,0 = 0 , vamos voltar em ( i ) :

f x y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 , h - f x 0,0 h = lim h → 0 ⁡ - h h

Portanto,

f x y 0,0 = - 1

Passo 3

Como queremos encontrar f y x 0,0 , vamos fazer o seguinte:

f y x 0,0 = f y x 0,0

Logo,

f y x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f y 0 , h - f y 0,0 h     ( i i )

Primeiro vamos encontrar f y 0 , h . Do Passo 1:

f y h , 0 = h 5 - 4 ⋅ h 3 ⋅ 0 2 - h ⋅ 0 4 h 2 + 0 2 2 = h 5 h 4

Assim,

f x 0 , h = h

Como f y 0,0 = 0 , vamos voltar em ( i i ) :

f y x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f y 0 , h - f y 0,0 h = lim h → 0 ⁡ h h

Portanto,

f y x 0,0 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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