Enunciado

Encontre a primeira e segunda derivada da função. Verifique se suas respostas são razoáveis comparando os gráficos de f , f ' e f ' ' .

f x = e x - x 3

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😬

Nesse problema devemos derivar a função

f x = e x - x 3

duas vezes para encontrar a primeira e segunda derivada e, daí esboçar seus gráficos. Por fim, precisamos compararos gráficos e ver se eles são razoáveis.

Parece de boa? 😁

Para obter as derivadas de cada termo da função, vamos usar a regra da potência

d x a d x = a x a - 1

Lembrando que a derivada de e x é igual a e x pelo teorema fundamental do cálculo

Veja só! 😊

Passo 2

A primeira derivada será

f x = e x - x 3

f ' x = e x - 3 x 3 - 1

f ' x = e x - 3 x 2

Já a segunda derivada será

f ' ' x = e x - 3 2 x 2 - 1

f ' ' x = e x - 6 x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Esboçando as curvas f x = e x - x 3 , f ' x = e x - 3 x 2 e f ' ' x = e x - 6 x

Em vermelho o gráfico de f , azul o de f ' e roxo o de f ' ' :

Observe que onde a curva azul corta o eixo x , a curva vermleha tem tangente horizontal.

Analogamento, onde a curva roxa se anula, a curva azul tem tangente horizontal. Veja também que onde a curva roxa está acima do eixo x , a curva vermelha é côncava para cima e, onde a curva roxa está abaixo do eixo x , a curva vermelha tem concavidade para baixo.

Este é comportamento esperado.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' x = e x - 3 x 2

f ' ' x = e x - 6 x

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