Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = ( x - 4 ) root(3)(x)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais, já que não há nenhuma restrição na equação.
  2. D = I R

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = 0 . Para y = 0 , t e m o s q u e x = 4 :
  4. Checando simetria:
  5. f (- x) != f (x) -> ( x + 4 ) root(3)(x) != ( x - 4 ) root(3)(x)

    f (- x) != - f (x) -> (x + 4) root(3)(x) != - ( x - 4 ) root(3)(x)

    Portanto, não há simetria na função.

  6. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  7. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Vamos lá:

    underset(x -> oo)(lim) ( x - 4 ) root(3)(x) = oo

    underset(x -> - oo)(lim) ( x - 4 ) root(3)(x) = oo

    Portanto, não temos assíntotas horizontais.

    Também não temos assíntotas Verticais, pois o denominador nunca será zero.

  8. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  9. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = (4 (x - 1))/(3 root(3)(x)^2)

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> (4 (x - 1))/(3 root(3)(x)^2) > 0

    f^' (x) > 0 -> x in (1 , oo)

    Decrescente:

    f^' (x) < 0 -> (4 (x - 1))/(3 root(3)(x)^2) < 0

    f^' (x) < 0 -> x in (- oo , 1)

  10. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .
  11. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Vamos lá:

    f^(' ') (x) = (4 (x + 2))/(9 x root(3)(x)^2)

    Na raiz de f^' (x) -> x = 1 :

    f^(' ') (1) = (4)/(3) -> p o n t o d e m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f (1) = - 3 -> m í n i m o

  12. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f^(' ') (x) = (4 (x + 2))/(9 x root(3)(x)^2)

f^(' ') (x) > 0 -> x in (- oo , - 2) e (0 , oo)

f^(' ') (x) < 0 -> x in (- 2 , 0)

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (- oo , - 2) e (0 , oo)

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in (- 2,0)

P o n t o s d e i n f l e x ã o -> x = - 2 , x = 0

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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