Enunciado

Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 29-34.

t g - 1 x 2

Passo 1

Fala pessoal! Tudo bom? Então vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

t g - 1 x = x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + … + …  

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Usando essa série acima, podemos calcular a série do enunciado, pois

t g - 1 x 2 = ( t g - 1 x ) ( t g - 1 x )

Podemos assim calcular os quatro primeiros termos da nossa série:

t g - 1 x 2 = x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + … x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + …

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos que:

t g - 1 x 2 = x 2 - 2 3 x 4 - 23 45 x 6 - 44 105 x 8 + …

Resposta

t g - 1 x 2 = x 2 - 2 3 x 4 - 23 45 x 6 - 44 105 x 8 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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