Enunciado

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 x n + 1 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 ( n + 1 ) ) n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n ) = lim n → ∞ ⁡ ( x ) n ∙ x ∙ n + 1 2 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n ) ∙ ( 2 n + 2 ) ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n ) n 2 x n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x ) n ∙ x ∙ n + 1 2 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n ) ∙ ( 2 n + 2 ) ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n ) n 2 x n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n 2 2 n + 2 = 0

Passo 2

Opa! Nosso limite deu zero para qualquer valor de x .

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para todo e qualquer x ∈ R . Nosso raio de convergência será então R = ∞ e nosso intervalo de convergência será I = ( - ∞ , ∞ ) .

Resposta

R = ∞   e   I = ( - ∞ , ∞ )

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