Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 1 1 + 9 x 2

Passo 1

A ideia por trás da mudança para uma série de potências é comparar com a função abaixo e a sua mudança para série de potências:

g x = 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Vamos fazer uma mudança com a nossa f ( x ) para que ela se pareça com essa g x . Vejamos só:

f x = 1 1 + 9 x 2 = 1 1 - - 9 x 2

Percebam que se trocarmos - 9 x 2 por x , temos exatamente a função g ( x ) . Portanto, basta mudar x por - 9 x 4 na série, isto é:

f x = 1 1 + 9 x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 9 x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 x 2 n

Passo 2

Para analisarmos a convergência da série, basta lembrarmos dos conceitos de convergência para séries de potência. Ela será convergente quando 3 x < 1 , portanto, o seu intervalo de convergência é - 1 / 3 < x < 1 / 3 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 x 2 n

Intervalo de convergência: - 1 / 3 < x < 1 / 3 .

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