Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 1 x - 5

Passo 1

A ideia por trás da mudança para uma série de potências é comparar com a função abaixo e a sua mudança para série de potências:

g x = 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Vamos fazer uma mudança com a nossa f ( x ) para que ela se pareça com essa g x . Vejamos só:

f x = 1 x - 5 = - 1 ⋅ 1 5 - x = - 1 5 ⋅ 1 1 - x 5

Percebam que se trocarmos x / 5 por x , temos exatamente a função g ( x ) vezes - 1 / 5 . Portanto, basta mudar x por x / 5 na série e multiplica-la por - 1 / 5 , isto é:

f x = 1 x - 5 = - 1 5 ⋅ ∑ n = 0 ∞ x 5 n = ∑ n = 0 ∞ - x n 5 n + 1

Passo 2

Para analisarmos a convergência da série, basta lembrarmos dos conceitos de convergência para séries de potência. Ela será convergente quando x / 5 < 1 , portanto, o seu intervalo de convergência é - 5 < x < 5 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - x n 5 n + 1

Intervalo de convergência: - 5 < x < 5 .

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