Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n x n n 2

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = - 1 n x n n 2

Então, fazemos

a n + 1 = - 1 n + 1 x n + 1 ( n + 1 ) 2

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 1 ( n + 1 ) 2 ⋅ n 2 1 n x n = lim n → ∞ ⁡ - 1 x n 2 n + 1 2 = l i m n → ∞ n n + 1 2 x = 1 2 ⋅ x = | x |

Passo 3

Quando x = 1 , a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n x n n 2

Converge pelo teste das séries alternadas.

Quando x = - 1 , a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Converge, uma vez que é uma p-série com p = 2 >   1 .

Passo 4

Assim, o intervalo de convergência é

[ - 1,1 ]

Resposta

R = 1

I = [ - 1,1 ]

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