Enunciado

A função A definida por

A x = 1 + x 3 2   .   3 + x 6 2   .   3   .   5   .   6 + x 9 2   .   3   .   5   .   6   .   8   .   9 +

é denominada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).

(a) Encontre o domínio da função de Airy.

(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.

(c) Se seu SCA tiver funções de Airy programadas, trace A na mesma tela que as somas parciais na parte (b) e observe como as somas parciais aproximam A .

Passo 1

(a) Beleza, galera? Pra encontrar o domínio dessa função, temos que encontrar pra quais valores de x essa série converge. Então seria uma ótima ideia usar o Teste da Razão, mas como vamos usá-lo se não sabemos quem é a n e a n + 1 ?

Pra resolver isso, perceba que os termos da série podem ser definidos recursivamente, olha só:

a 1 = 1

a n + 1 = x 3 3 n - 1 3 n   a n

Não se preocupe, é realmente difícil enxergar essa relação de recorrência, mas pode conferir se quiser!

Passo 2

Show! Agora sim podemos usar o Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ x 3 3 n - 1 3 n   a n a n = l i m n → ∞ 1 3 n - 1 3 n | x 3 | = 0

Como esse limite é sempre 0 , que é menor do que 1 , a série converge pra qualquer x , ou seja, o domínio da função de Airy é - ∞ ,   ∞ .

Passo 3

(b) Beleza! Vamos traçar algumas somas parciais da série que define a função de Airy:

Passo 4

(c) ( S C A )

Resposta

(a) ( - ∞ , ∞ )

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