Enunciado

Mostre que, se l i m n → ∞   | c n | n = c onde c ≠ 0 , então o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n é R = 1 c .

Passo 1

Galera, pra tentar chegar no raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Raiz na série:

l i m n → ∞   a n n = l i m n → ∞   | c n x n | n = l i m n → ∞   | c n | n   x n n = x   l i m n → ∞   | c n | n = x c

Passo 2

Show! Para haver convergência, o limite do passo anterior deve ser menor do que 1 :

x c < 1

x < 1 c

Logo, R = 1 c .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.
Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Expresse a função como uma soma de série de potência escrevendo primeiro as frações parciais. Expresse o intervalo de convergência.
Expresse a função como uma soma de série de potência escrevendo primeiro as frações parciais. Expresse o intervalo de convergência.