Enunciado

Sejam p e q números reais com p < q . Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja

(b) ( p , q ]

Passo 1

Pessoal, pra tentar encontrar uma série de potências que satisfaça esse intervalo de convergência, primeiro precisamos estar atentos aos extremos: veja que x = p não faz parte do intervalo, enquanto x = q faz parte.

Um tipo de série que tem um tipo de intervalo parecido é a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n , cujo intervalo de convergência é ( - 1 ,   1 ] . Vamos analisar com mais detalhes esse intervalo pra encontrar nossa série de potências com intervalo ( p ,   q ] ?

Passo 2

Show! Em ( 1 ,   - 1 ] , o centro do intervalo é 0 , e isso ocorre porque, na série, o termo elevado a n é x - 0 n = x n .

Mas, no nosso caso, o centro do intervalo vai ser p + q 2 , então vamos começar a construir nossa série assim:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n x - p + q 2 n

Passo 3

Além disso, o raio de convergência da série é 1 , que se obtém subtraindo os extremos do intervalo e dividindo por 2 :

1 - - 1 2 = 1

E esse raio de convergência é este porque, na série, aparece x - 0 1 n = x n

Mas, pra nossa série o raio de convergência será:

q - p 2

Então, podemos acabar de construir nossa série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n x - p + q 2 q - p 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 x - p - q q - p n

Se quiser, pode conferir usando o Teste da Razão, o intervalo de convergência vai ser exatamente ( p ,   q ] !

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 x - p - q q - p n

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