Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ x + 2 n 2 n ln ⁡ n    

Passo 1

Através do enunciado, vemos que

a n = x + 2 n 2 n ln ⁡ n  

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x + 2 n + 1 2 n + 1 ln ⁡ ( n + 1 )   2 n ln ⁡ n x + 2 n

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada e cortando os termos iguais, obtemos

lim n → ∞ ⁡ x + 2 n ( x + 2 ) 2 n 2 ln ⁡ ( n + 1 )   2 n ln ⁡ n x + 2 n

lim n → ∞ ⁡ x + 2 2 ln ⁡ n   ln ⁡ ( n + 1 )  

Colocando constante x + 2 2 para fora do limite e aplicando a Regra de l’Hopital, obtemos

| x + 2 | 2 lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n   ln ⁡ ( n + 1 )   = | x + 2 | 2 lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / ( n + 1 )

| x + 2 | 2 lim n → ∞ ⁡ 1 n ( n + 1 ) = | x + 2 | 2 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n = | x + 2 | 2

Devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que L < 1 . Para que essa condição seja satisfeita, temos que

| x + 2 | 2 < 1

Logo, x + 2 < 2 .

Portanto, o raio de convergência R = 2 .

Passo 2

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.

A desigualdade x + 2 < 2 pode ser escrita como - 4 < x < 0 , assim testamos a série nas extremidades -1 e 3.

Para x = - 4 , temos que

∑ n = 1 ∞ - 4 + 2 n 2 n ln ⁡ n   = ∑ n = 1 ∞ - 2 n 2 n ln ⁡ n  

∑ n = 1 ∞ - 2 2 n 1 ln ⁡ n   = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 ln ⁡ n  

Esta série converge pelo Teste da Série Alternada. Solução:

b n = 1 ln ⁡ n  

Primeira condição:

i   b n + 1 ≤ b n

Essa condição é satisfeita pois

1 ln ⁡ ( n + 1 )   ≤ 1 ln ⁡ n  

uma vez que ln ⁡ n + 1 ≥ ln ⁡ n   e o numerador é igual a constante 1 para ambos os termos.

Segunda condição:

i i lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n   = 0

Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.

Para x = 0 , temos que

∑ n = 1 ∞ 0 + 2 n 2 n ln ⁡ n   = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n ln ⁡ n   = ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n    

Esta série diverge pelo Teste da Comparação de Limite. Solução:

Vamos comparar a série a n   acima com a série b n = ∑ 1 / n . Sabemos que b n   diverge por ser uma série p com p ≤ 1 .

Temos que

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

lim n → ∞ ⁡ 1 / ln ⁡ n   1 / n   = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n  

Aplicando a Regra de l’Hopital, chegamos em

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n   = lim n → ∞ ⁡ 1 1 / n   = lim n → ∞ ⁡ n = ∞

Como c = ∞ > 0 , concluimos que ambas a série é divergente.

Logo, o intervalo de convergência é

[ - 4,0 )

Resposta

R = 2

[ - 4,0 )

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