Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ x n n 4 4 n  

Passo 1

Através do enunciado, vemos que

a n = x n n 4 4 n

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 ( n + 1 ) 4 4 n + 1 n 4 4 n x n

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada e cortando os termos iguais, obtemos

lim n → ∞ ⁡ x n x ( n + 1 ) 4 4 n 4 n 4 4 n x n = lim n → ∞ ⁡ x 4 n n + 1 4

Colocando n em evidência, obtemos

lim n → ∞ ⁡ x 4 1 1 + 1 / n 4 = x 4

Devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que L < 1 . Para que essa condição seja satisfeita, temos que

x 4 < 1

Logo, x < 4 .

Portanto, o raio de convergência R = 4 .

Passo 2

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.

Sabemos que o intervalo é ( - 4 ,   4 ) , porém devemos testar a convergência nas extreminades para definir onde é aberto e onde é fechado.

Para x = - 4 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( - 4 ) n n 4 4 n = ∑ n = 1 ∞ - 4 4 n 1 n 4 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4

Esta série converge pelo Teste da Série Alternada. Solução:

b n = 1 n 4

Primeira condição:

i   b n + 1 ≤ b n

Essa condição é satisfeita pois

1 n + 1 4 ≤ 1 n 4

uma vez que n + 1 4 ≥ n 4 e o numerador é igual a constante 1 para ambos os termos.

Segunda condição:

i i lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 = 0

Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.

Para x = 4 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( 4 ) n n 4 4 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Esta é uma série p com p > 1 , portanto é convergente.

Logo, o intervalo de convergência é

[ - 4,4 ]

Resposta

R = 4

[ - 4 , 4 ]

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