Enunciado

Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = x - 1 x + 2

Podemos reescrever a função como:

f x = x + 2 - 3 x + 2 = 1 - 3 x + 2 = 1 - 3 2 x 2 + 1 = 1 - 3 2 1 1 - ( - x 2 )

= 1 - 3 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n = - 1 2 - ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 x n 2 n + 1

Passo 2

Sendo assim, a série converge quando:

- x 2 < 1 → x < 2

Dessa forma, temos:

- 2 < x < 2

E o raio de convergência é:

R = 2 - - 2 2 = 2

Passo 3

E, dessa forma, o intervalo de convergência é dado por:

I = - 2,2

Resposta

- 1 2 - ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 x n 2 n + 1

I = - 2,2

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