Encontre o raio de convergência da série

∑ n = 1 ∞ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ … ∙ 2 n + 1 4 ∙ 9 ∙ 14 ∙ … ∙ 5 n - 1 x - 1 n

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série,

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ … ∙ 2 n + 1 4 ∙ 9 ∙ 14 ∙ … ∙ 5 n - 1 x - 1 n

Vamos aplicar o teste da razão para série ∑ n = 1 ∞ u n , assim, temos que:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 n + 1 ( 2 n + 3 ) x - 1 n + 1 4 ∙ 9 ∙ … ∙ 5 n - 1 ( 5 n + 4 ) ∙ 4 ∙ 9 ∙ … ∙ 5 n - 1 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 n + 1 x - 1 n

Eliminando os termos comuns,

lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 3 ) ( x - 1 ) ( 5 n + 4 ) = x - 1 lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 5 n + 4 =   x - 1 ∙ 2 5 =   2 5 x - 1  

Sendo assim, a série converge absolutamente para 2 5 x - 1 < 1   ⟹ x - 1 < 5 2 . Logo, o raio de convergência da série é 5 2 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

O raio de convergência da série é 5 2 .

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