Enunciado

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

cos 2 ⁡ x

(Sugestão: cos 2 ⁡ x = ( 1 + cos ⁡ 2 x ) / 2 . )

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

Como o próprio enunciado traz, podemos usar cos 2 ⁡ x = ( 1 + cos ⁡ 2 x ) / 2 ) .

Ou seja:

cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

c o s   x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! + …

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

c o s   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

Passo 2

Vamos relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

cos 2 ⁡ x = 1 2 + 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 x ) 2 n ( 2 n ) !

Podemos então calcular os primeiros termos dessa série:

cos 2 ⁡ x = 1 2 + 1 2 1 - 2 x 2 2 ! + 2 x 4 4 ! - 2 x 6 6 ! + 2 x 8 8 ! - …

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos a seguinte função para a série do enunciado:

cos 2 ⁡ x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n - 1 x 2 n ( 2 n ) !

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n - 1 x 2 n ( 2 n ) ! = 1 - 2 x 2 2 * 2 ! + 2 x 4 2 * 4 ! - 2 x 6 2 * 6 ! + 2 x 8 2 * 8 ! - …

Resposta

1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n - 1 x 2 n ( 2 n ) ! = 1 - 2 x 2 2 * 2 ! + 2 x 4 2 * 4 ! - 2 x 6 2 * 6 ! + 2 x 8 2 * 8 ! - …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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