Enunciado

Expresse a função como uma soma de série de potência escrevendo primeiro as frações parciais. Expresse o intervalo de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = 2 x + 3 x 2 + 3 x + 2

Podemos reescrever a função como:

f x = 2 x + 3 ( x + 1 ) ( x + 2 )

Agora, reescrevendo em frações parciais, temos:

f x = A x + 1 + B x + 2

Dessa forma, temos que:

2 x + 3 = A x + 2 + B ( x + 1 )

Para x = - 1 , temos:

2 - 1 + 3 = A 1 + B 0 → A = 1

E para x = - 2 , temos:

2 - 2 + 3 = A 0 + B - 2 + 1 → B = 1

Passo 2

Dessa forma, a equação se torna:

f x = 1 x + 1 + 1 x + 2 = 1 1 - ( - x ) + 1 2 1 1 - - x 2

E, reescrevendo como uma soma de série de potência, temos:

∑ n = 0 ∞ - x n + 1 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 1 2 n + 1 x n

Passo 3

Representamos f como a soma de duas séries geométricas, sendo que a primeira converge para x   ϵ   ( - 1,1 ) e a segunda converge para x   ϵ   ( - 2,2 ) . Dessa forma, a interseção entre os intervalos fornece o intervalo de convergência, que é de:

I = ( - 1,1 )

Resposta

∑ n = 0 ∞ - x n + 1 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

I = - 1 , 1

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