Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = ln ⁡ ( 5 - x )

Passo 1

Beleza, galera? Olha bem pra nossa função, podemos reescrevê-la como uma integral:

f x = ln ⁡ 5 - x = ∫ - 1 5 - x   d x = ∫ - 1 5 1 - x 5   d x

Mas sabemos que a expressão dentro da integral corresponde à soma de uma série geométrica de primeiro termo - 1 5 e razão x 5 :

f x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 5 x 5 n d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) 5 n + 1 x n d x = C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) 5 n + 1 x n + 1 n + 1

onde C é uma constante de integração.

Passo 2

Agora, se usarmos a função f x original e fizermos x = 0 , descobriremos o valor da constante C :

ln ⁡ 5 - 0 = C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 5 n + 1   0 n + 1

ln ⁡ 5 = C + 0

C = ln ⁡ 5

Show! Pra nossa série ficar mais bonitinha, vamos substituir n + 1 por n , e aí o somatório passa a começar em n = 1 , certo?

f x = ln ⁡ 5 - ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 n x n  

Passo 3

Como a razão da série geométrica que usamos era x 5 , pra série convergir devemos ter:

x 5 < 1

x < 5

Então o raio de convergência é R = 5 , já que a integração ou derivação da série não altera o raio de convergência.

Resposta

f x = ln ⁡ 5 - ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 n x n  

R = 5

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