Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 15
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, galera? Olha bem pra nossa função, podemos reescrevê-la como uma integral:
Mas sabemos que a expressão dentro da integral corresponde à soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão :
onde é uma constante de integração.
Passo 2
Agora, se usarmos a função original e fizermos , descobriremos o valor da constante :
Show! Pra nossa série ficar mais bonitinha, vamos substituir por , e aí o somatório passa a começar em , certo?
Passo 3
Como a razão da série geométrica que usamos era , pra série convergir devemos ter:
Então o raio de convergência é , já que a integração ou derivação da série não altera o raio de convergência.
Resposta
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Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .48. ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 2 n
Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .47. ∑ n = 0 ∞ x 2 + 1 3 n
Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .45. ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 n
A série sen x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + … converge para sen x para todo x .a. Encontre os seis primeiros termos de uma série para cos x . Para quais valores de x
a. Mostre que se duas séries de potências ∑ n = 0 ∞ a n x n e ∑ n = 0 ∞ b n x n são convergentes e iguais para todos os valores de x em um intervalo aberto ( - c , c ) , então a n = b n para todo n .