Enunciado

A série

sen ⁡ x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + …  

converge para sen ⁡ x para todo x .

a. Encontre os seis primeiros termos de uma série para cos ⁡ x . Para quais valores de x a série deve convergir?

b. Substituindo x por 2x na série para sen ⁡ x , encontre uma série que convirja para sen ⁡ 2 x para todo x.

c. Utilizando o resultado no item (a) e a multiplicação de séries, calcule os seis primeiros termos de uma série para 2 sen ⁡ x cos ⁡ x . Compare sua resposta com a resposta no item (b)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Primeira coisa a ser dita, só para dar um norte, pelo Teorema 21, a série obtida pela diferenciação termo a termo da série original converge para d d x sen ⁡ x = cos ⁡ x para todo x ∈ R . Diferenciando a série dada de ambos os lados em relação a x , obtemos

d d x sen ⁡ x = d d x x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + …

Com isso,

cos ⁡ x = 1 - 3 x 2 3 ! + 5 x 4 5 ! - 7 x 6 7 ! + 9 x 8 9 ! - 11 x 10 11 ! + …

Desenvolvendo um pouco mais os termos, acredite, isso vai facilitar bastante nossos cálculos

cos ⁡ x = 1 - 3 x 2 3 ∙ 2 ! + 5 x 4 5 ∙ 4 ! - 7 x 6 7 ∙ 6 ! + 9 x 8 9 ∙ 8 ! - 11 x 10 11 ∙ 1 0 ! + …

Portanto, nós temos que

cos ⁡ x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + x 8 8 ! - x 10 10 !

Passo 2

A série dada no passo anterior o cos ⁡ x

x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Considerando as séries ∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! . Aplicando o teste da razão para a série ∑ n = 0 ∞ u n , logo,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ! ∙ 2 n ! - 1 n x 2 n

Desenvolvendo um pouco mais os termos

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ - 1 x 2 2 n ! 2 n + 2 !

Tirando o x 2 do somatório, já que nesse caso ele funciona como uma constante

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x 2 lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n ! 2 n + 2 2 n + 1 2 n ! = x 2 lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n + 2 2 n + 1

Como é módulo, o sinal não faz diferença (para esse caso)

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x 2 lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 2 2 n + 1

O limite do lado direito é igual a 0, com isso

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x 2 × 0 = 0 < 1

Portanto, pelo teste da razão, a série é convergente para todo x .

Passo 3

B - Sabemos que a série dada converge para todos os valores de x . Colocando x = 2 x na série dada para sen ⁡ x ,

sen ⁡ 2 x = 2 x - 2 x 3 3 ! + ( 2 x ) 5 5 ! - ( 2 x ) 7 7 ! + ( 2 x ) 9 9 ! - ( 2 x ) 11 11 ! + …

Desenvolvendo os termos

sen ⁡ 2 x = 2 x - 2 3 x 3 3 ! + 2 5 x 5 5 ! - 2 7 x 7 7 ! + 2 9 x 9 9 ! - 2 11 x 11 11 ! + …

Que nos fornece o seguinte resultado

sen ⁡ 2 x = 2 x - 8 x 3 3 ! + 32 x 5 5 ! - 128 x 7 7 ! + 512 x 9 9 ! - 2048 x 11 11 ! + …

A série converge para sen ⁡ 2 x para todo x .

Passo 4

C – Do resultado da letra a), podemos supor o seguinte

2 sen ⁡ x cos ⁡ x = 2 x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + … 1 - 3 x 2 3 ! + 5 x 4 5 ! - 7 x 6 7 ! + 9 x 8 9 ! - 11 x 10 11 ! + …

Com isso, nós temos que

2 sen ⁡ x cos ⁡ x = 2 x - 8 x 3 3 ! + 32 x 5 5 ! - …

Percebeu que basicamente é a mesma série de sen ⁡ 2 x , e que estamos provando a identidade sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x .

Resposta

a )   cos ⁡ x = 1 - 3 x 2 3 ! + 5 x 4 5 ! - 7 x 6 7 ! + 9 x 8 9 ! - 11 x 10 11 ! + …

b )   sen ⁡ 2 x = 2 x - 8 x 3 3 ! + 32 x 5 5 ! - 128 x 7 7 ! + 512 x 9 9 ! - 2048 x 11 11 ! + …

c )   2 sen ⁡ x cos ⁡ x = 2 x - 8 x 3 3 ! + 32 x 5 5 ! - …

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais. ∫ 0 0 , 4 ln ⁡ ( 1 + x 4 ) d x
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ t g - 1 ( x 2 ) d x
(a) Começando com a série geométrica ∑ n = 0 ∞ x n , encontre a soma da série ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 x1 (b) Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.(i) ∑ n = 1 ∞ n x n ,x1 (ii) ∑ n = 1 ∞ n 2 n (c
A função de Bessel de ordem 1 é definida por J 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 Mostre que J 1 satisfaz a equação diferencial x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + x 2 - 1 J 1 x = 0 Mostre
(a) Mostre que J 0 (a função de Bessel de ordem 0 dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0 (b) Calcule ∫ 0 1 J 0 ( x ) d x com precisão de três casas