Enunciado

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .

45. ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para este problema, vamos dá um remember para o seguinte teorema, ok, se ∑ n = 0 ∞ a n x n   converge de forma absoluta (MÓDULO) para x < R , então, ∑ n = 0 ∞ a n ( f ( x ) ) n converge para f ( x ) < R . Para este caso, vamos fazer o seguinte

  ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 n = ∑ n = 0 ∞ f x n

Nós sabemos que ∑ n = 0 ∞ x n é uma série geométrica que converge quando x < 1 . Com todas essas informações, nós já podemos supor que

f ( x ) = x 2 - 1 < 1

Este módulo bonitinho tem como intervalo

- 1 < x 2 - 1 < 1

Desenvolvendo um pouco mais, obtemos que

0 < x 2 < 2 → 0 < x < 4

Elevando todo mundo ao quadrado

0 < x < 16

Passo 2

Já conseguimos o intervalo de convergência, agora, já podemos notar que   ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 n é uma série geométrica que termo inicial igual a 1 e taxa em comum x 2 - 1 , lembrando que, quando se tem uma soma de série geométrica com termo inicial a e razão comum r , nós podemos escrever essa série da seguinte forma:

S = a 1 - r

Portanto,

∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 n = 1 1 - x 2 - 1

Desenvolvendo um pouco mais, obtemos que

∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 n = 1 2 - x 2 = 2 4 - x ∴

Questão resolvida 😊.

Resposta

∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 n = 2 4 - x   ( i n t e r v a l o   d e   c o n v e r g ê n c i a   0 < x < 16 )

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