Enunciado

Encontre f ' ( x )

f (x) = 2 sec^2 ( x^7 )

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = sec^2 ( x )

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = x^7

Vamos começar jogando esse 2 pra fora, que ele é uma constante e fica mais fácil pra gente esquecer ele rapidinho e depois multiplicarmos!

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = sec^2 (x)

Ai aqui caímos em outra regra da cadeia, vamos ficar com

(f (g (x)))^' = u^' (v (x)) * v ' ( x )

u (x) = 2

u^' (x) = 2 x

u^' (v (x)) = 2 s e c ( x )

v (x) = s e c (x)

v^' (x) = sec (x) *tg (x)

Então nossa f^' (x) fica:

f^' (x) = u^' (v (x)) * v ' ( x )

f^' (x) = 2 sec (x) sec (x) t g (x)

f^' (x) = 2 sec^2 (x) t g ( x )

Agora para g ( x )

g (x) = x^7

g^' (x) = 7 x^6

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = 2 sec^2 (x) t g (x) * 7 x^6

(f (g (x)))^' = 14 x^6 sec^2 (x) t g ( x )

Maaas segura o cavalinho ai! Lembra que lá que a gente esqueceu aquele 2 multiplicando, então agora vamos pegar ele e multiplicar

28 x^6 sec^2 (x) t g ( x )

Resposta

(f (g (x)))^' = 28 x^6 sec^2 (x) t g ( x )

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