Encontre dy/dx

y = x^3 \* sen^2(5x)

Passo 1

Vamos aplicar d / d x de ambos os lados! Ficamos com:

d y d x = d x 3 s e n 2 5 x d x

Como temos um produto, vamos aplicar a Regra do Produto, então ficamos com

d y d x = x 3 ' * s e n 2 5 x + x 3 * s e n 2 5 x '

Passo 2

Vamos começar com a primeira multiplicação

x 3 ' * s e n 2 ( 5 x )

3 x 2 s e n 2 ( 5 x )

Passo 3

Show agora vamos para a segunda parte, que é onde o bicho pega, mas se a gente for com calma vamos chegar no resultado da questão

x 3 * s e n 2 5 x '

Olhando essa derivada , podemos ver que essa função que é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = x 2

f ' x = 2 x

f ' g x = 2 s e n ( 5 x )

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x = s e n ( 5 x )

Para fazer essa derivada vamos precisar de outra regra da cadeia!

s e n 5 x ' = a ' b x * b ' x

a x = s e n x

a ' x = cos ⁡ x

Como b x = 5 x , ficamos com

a ' b x = cos ⁡ 5 x

b x = 5 x

b ' x = 5

Agora, a nossa regra da cadeia de a b x ' ficamos com

5 cos ⁡ 5 x

E esse é o nosso g ' x

g ' x = 5 c o s ⁡ ( 5 x )

Passo 4

Agora que achamos o g ' ( x ) vamos fazer a regra da cadeia para chegar em quem é s e n 2 5 x '

s e n 2 5 x ' = 2 s e n 5 x * 5 c o s ⁡ ( 5 x )

s e n 2 5 x ' = 10 s e n 5 x cos ⁡ 5 x

Passo 5

Ufa! Agora que já sabemos os termos podemos voltar para nossa regra do produto

d y d x = x 3 ' * s e n 2 5 x + x 3 * s e n 2 5 x '

d y d x = 3 x 2 * s e n 2 5 x + x 3 * 10 s e n 5 x cos ⁡ 5 x

Podemos colocar x 2 s e n 5 x em evidencia e ficamos com

d y d x = x 2 s e n 5 x * 3 s e n 5 x + 10 x   c o s 5 x

Resposta

d y d x = x 2 s e n 5 x * 3 s e n 5 x + 10 x   c o s 5 x

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